METODOS NUMERICOS

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Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Raíces de Ecuaciones Algebraicas

Algunos de los métodos que podemos utilizar para buscar las raíces de ecuaciones algebraicas:

Método de Intervalo Medio

Este método consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz al menos una raíz, y repetir el proceso varias veces.

Una situación típica se describe en la figura-1, en donde el punto medio del intervalo del intervalo (X_I,X_D) de denota por (X_M) y f(X_M) es positivo. Ya que f(X_M) f(X_D)<0, debe conservar (X_M,X_D) como semi-intervalo que contiene al menos una raíz. El siguiente paso es evaluar f en el punto medio de este nuevo intervalo (X_M,X_D), 

Método Newton Raphson

Este método es útil para mejorar una primera aproximación a una raíz de una ecuación de la forma f(X) = 0, que pudo haber sido obtenida por tanteos o por algún otro método.

Considerando la gráfica de f(x) en función de x, y supóngase que X_n es una primera aproximación a una raíz.

Si dibujamos una recta tangente a la curva en X = X_n, interceptará al eje x en un valor X_n+1, que constituye una aproximación mejorada de la raíz. se pudo observar que la pendiente de la tangente es

 por lo tanto

a la que se le conoce como Fórmula de NEWTON-RAPHSON. De donde se obtiene al despejar X_n que

Procediendo de igual forma se obtiene que

El valor de la función y el valor de la derivada de la función se conservan para X=X_n, y la nueva aproximación a la raíz, x_n+1, se obtienen utilizando la ecuación de Newton-Raphson. Se repite el procedimiento con esta nueva aproximación, para obtener una mejor aproximación a la raíz. Esto continúa hasta que dos valores consecutivos de la raíz aproximada defieran en una cantidad menor que cierto valor expsilón prescrito, que controla el error permisible en la raíz.

El Método Iterativo de NEWTON-RAPHSON, definido por