METODOS NUMERICOS
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Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

Raíces de Ecuaciones Algebraicas




Algunos de los métodos que podemos utilizar para buscar las raíces de ecuaciones algebraicas:
Método de Intervalo Medio

Este método consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales reteniendo la mitad en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz al menos una raíz, y repetir el proceso varias veces.
Una situación típica se describe en la figura-1, en donde el punto medio del intervalo del intervalo (XI,XD) de denota por (XM) y f(XM) es positivo. Ya que f(XM) f(XD)<0, debe conservar (XM,XD) como semi-intervalo que contiene al menos una raíz. El siguiente paso es evaluar f en el punto medio de este nuevo intervalo (XM,XD), 
Método Newton Raphson
Este método es útil para mejorar una primera aproximación a una raíz de una ecuación de la forma f(X) = 0, que pudo haber sido obtenida por tanteos o por algún otro método.
Considerando la gráfica de f(x) en función de x, y supóngase que Xn es una primera aproximación a una raíz.
Si dibujamos una recta tangente a la curva en X = Xn, interceptará al eje x en un valor Xn+1, que constituye una aproximación mejorada de la raíz. se pudo observar que la pendiente de la tangente es
 por lo tanto
a la que se le conoce como Fórmula de NEWTON-RAPHSON. De donde se obtiene al despejar Xn que
Procediendo de igual forma se obtiene que
El valor de la función y el valor de la derivada de la función se conservan para X=Xn, y la nueva aproximación a la raíz, xn+1, se obtienen utilizando la ecuación de Newton-Raphson. Se repite el procedimiento con esta nueva aproximación, para obtener una mejor aproximación a la raíz. Esto continúa hasta que dos valores consecutivos de la raíz aproximada defieran en una cantidad menor que cierto valor expsilón prescrito, que controla el error permisible en la raíz.
El Método Iterativo de NEWTON-RAPHSON, definido por


Errores


ERROR POR REDONDEO

El error por redondeo se define como el error que resulta de reemplazar un número que tiene más de n dígitos por un número que tiene m dígitos.

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.   Ya que es el error que resulta de utilizar una serie de pasos truncados en vez de una serie de pasos completa.

ERROR SIGNIFICATIVO

Ocurre cuando el número de cifras significativas que tengan sentidos y sean válidas, algunas veces son menores de lo esperado.    Se presentan con frecuencia cuando:
·      Se restan números desiguales
·      Se suman varios números de magnitudes pequeñas.
·      Se emplean un divisor relativamente pequeño.

FORMULAS PARA CALCULAR ERRORES

ƒr(t) indicará el valor redondeado de ƒ(t).
ƒ(tr) podría ser un número decimal infinito que debe o requeriría redondeo.

Fórmulas para el  Cálculo de errores
Error absoluto
| X – Xr |
Error Relativo
| X – Xr |
   | X |
Error Relativo Modificado
  2 | X – Xr |
  |X| + |Xr|


Fórmulas para el Cálculo de Errores a Funciones Variables
Error Propagado Absoluto
o Error  Absoluto Exacto
| ¦(X) – ¦(Xr) |    » | X – Xr | | ¦’(Xr) |
Error Propagado Relativo
| X – Xr | | ¦’(Xr) |
          |¦(X) |
Error de Redondeo
| ¦(Xr) - ¦r(Xr)|
Error Total de la Evaluación
| ¦(X) - ¦r(Xr)|
Factor de Amplificación ¦’(Xr)
¦’(Xr) =  | ¦(X) – ¦(Xr) |
                    | X – Xr | 


ERROR ABSOLUTO TOTAL EN UNA ECUACION
   
|ƒ(Xr) - ƒr(Xr)|  =  |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + |ƒ(X) - ƒr(Xr)|  <=  |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + ƒr(Xr)|


Esta desigualdad afirma que el error total absoluto no es mayor que la suma de los errores absolutos propagados y redondeados
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Complemento Radical

Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica.   Existen dos tipos de complementos para cada sistema de base r:
1.      El complemento radical, y
2.      El complemento radical disminuido
El primero se conoce como el  complemento a r’s y el segundo como el complemento a (r-1)’s.   Cuando el valor de la base se sustituye en el nombre, los dos tipos se conocen como complemento a 2’s y a 1’s para números binarios y a 10’s y a 9’s para números decimales.

COMPLEMENTO RADICAL DISMINUIDO
Dado un número N de base r que tiene n dígito, el complemento a (r-1)’s de N se define (rn - 1) - N
Para números decimales, r =10 y r-1 = 9; de este modo el complemento a 9’s de N es (10n - 1) - N.   Ahora,
            10n        representa un número que consta de un 1 seguido de n ceros.
            10n -1   es un número representado por n nueve.

            Por ejemplo, si n = 4, se tiene        10n = 104 = 10000
10n -1 = 9999

se deduce que el complemento a 9’s de un número decimal se obtiene restando cada dígito a 9.   Encontrar el complemento a 9’s de los siguientes números:

Decimal
    Operación
 CA 9’s
-546700
999999 -546700
453299
-12389
 99999 -12389
  87610
-125
     999 - 125
      874
-450
     999 - 450
      549
-733
     999 - 733
      266
Decimal
Binario
   +5
0 0101
   -5
1 1010
Decimal
Binario
Valor de -5 en Binario
0 0101
   +5
0 0101
Complemento a 1’s
1 1010
   -5
1 1011
Complemento a 2’s
1 1010
          1



1 1011
M =
     72532
99999
Complemento a 10’s de N =
+   96750
03250
Suma =
   1 69282
96749
Acarreo final desechado 105 =
-  1 00000
         1
Respuesta =
      69282
96750

M =
      03250
99999
99999
Complemento a 10’s de N =
+    27468
72532
30718
Suma =
      30718
27467
69281
No hay acarreo final =

        1
        1
Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718)
                  =  - 69282
27468
69282

M =
     1010100
0111100     (CA1’s de N)
Complemento a 10’s de N =
+   0111101
            1
Suma =
  1 0010001
0111101     (CA2’s)
Acarreo final desechado 27=
- 1 0000000

Respuesta =
      0010001



N =
     1000011
0101011     (CA1’s de M)
Complemento a 2’s de M =
+   0101100
            1
Suma =
     1101111
0101100     (CA2’s)
No hay acarreo final =


Respuesta = - (CA 1’s para 1101110)
                  =  - 0010001



En el caso de números binarios, r = 2 y r-1=1, de este modo el complemento a 1’s  de N es (2n -1) - N.   Una vez más
2n        representa por medio de un número binario que consta de un 1 seguido de n        ceros.
2n -1    es un número binario representado por n unos.

Por ejemplo, si n = 4 , se tiene que
                                                           2n        =  (10000)2
                                                           2n -1    =  (1111) 2
Por lo tanto, el complemento a 1’s de un número binario se obtiene restando cada dígito de 1.   Sin embargo, cuando se restan dígitos binarios de 1, se puede tener
1 - 0 = 1  ó  1 - 1 = 0;  lo que hace que el bit cambie de 0 a 1 o bien de 1 a 0.   En consecuencia, el complemento a 1’s de un número binario se forma combinando unos por ceros y ceros por uno.

            El complemento a 1’s de 1011001, es 0100110
            El complemento a 1’s de 0001111, es 1110000

            Si el número es positivo el complemento a 1’s se representa igual, si el número es negativo se toma el número binario positivo y se complementan todos los bit incluyendo el del signo.


            En  el complemento a 2’s, si el número es positivo se representa igual.   Si el número es negativo se suma 1 al complemento a 1’s. para obtener el signo del número negativo.


Sustracción con Complemento

El método directo de sustracción que se enseña en las escuelas primarias aplica el concepto de “Pedir prestado de otra cantidad”.   En método, se pide prestado un 1 de una posición significativa superior cuando el dígito minuendo es menor que el sustraendo.   Este parece ser el método más sencillo cuando las personas realizan la resta con papel y lápiz.    Cuando la resta se efectúa con hardware digital, se observa que este método es menos eficiente que el que se utiliza complementos.           Para realizar la resta de dos números sin signo de n dígitos, M - N. en base r, se puede hacer de la siguiente manera:

1.      Súmese el minuendo M al complemento de r del sustraendo N.   Esto se realiza como M + (rn -N) = M - N + rn

2.      Si M >= N, la suma producirá un acarreo final, rn , que se desecha, lo que queda es el resultado M - N.

3.      Si M < N, la suma no producirá un acarreo y es igual a rn - (N -M) que es el complemento a r’s de (N - M).
Ejemplo 1:     Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 72532 - 3250

M =
     72532
99999
Complemento a 10’s de N =
+   96750
03250
Suma =
   1 69282
96749
Acarreo final desechado 105 =
-  1 00000
         1
Respuesta =
      69282
96750


Ejemplo 2:     Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 3250 - 72532

M =
      03250
99999
99999
Complemento a 10’s de N =
+    27468
72532
30718
Suma =
      30718
27467
69281
No hay acarreo final =

        1
        1
Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718)
                  =  - 69282
27468
69282


Ejemplo 3:     Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la                           resta: M - N, utilizando el complemento a 2’s.
M =
     1010100
0111100     (CA1’s de N)
Complemento a 10’s de N =
+   0111101
            1
Suma =
  1 0010001
0111101     (CA2’s)
Acarreo final desechado 27=
- 1 0000000

Respuesta =
      0010001



Ejemplo 4:     Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la                           resta: N - M, utilizando el complemento a 2’s.
N =
     1000011
0101011     (CA1’s de M)
Complemento a 2’s de M =
+   0101100
            1
Suma =
     1101111
0101100     (CA2’s)
No hay acarreo final =


Respuesta = - (CA 1’s para 1101110)
                  =  - 0010001


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