Errores


ERROR POR REDONDEO

El error por redondeo se define como el error que resulta de reemplazar un número que tiene más de n dígitos por un número que tiene m dígitos.

ERROR POR TRUNCAMIENTO

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos.   Ya que es el error que resulta de utilizar una serie de pasos truncados en vez de una serie de pasos completa.

ERROR SIGNIFICATIVO

Ocurre cuando el número de cifras significativas que tengan sentidos y sean válidas, algunas veces son menores de lo esperado.    Se presentan con frecuencia cuando:
·      Se restan números desiguales
·      Se suman varios números de magnitudes pequeñas.
·      Se emplean un divisor relativamente pequeño.

FORMULAS PARA CALCULAR ERRORES

ƒr(t) indicará el valor redondeado de ƒ(t).
ƒ(tr) podría ser un número decimal infinito que debe o requeriría redondeo.

Fórmulas para el  Cálculo de errores
Error absoluto
| X – Xr |
Error Relativo
| X – Xr |
   | X |
Error Relativo Modificado
  2 | X – Xr |
  |X| + |Xr|


Fórmulas para el Cálculo de Errores a Funciones Variables
Error Propagado Absoluto
o Error  Absoluto Exacto
| ¦(X) – ¦(Xr) |    » | X – Xr | | ¦’(Xr) |
Error Propagado Relativo
| X – Xr | | ¦’(Xr) |
          |¦(X) |
Error de Redondeo
| ¦(Xr) - ¦r(Xr)|
Error Total de la Evaluación
| ¦(X) - ¦r(Xr)|
Factor de Amplificación ¦’(Xr)
¦’(Xr) =  | ¦(X) – ¦(Xr) |
                    | X – Xr | 


ERROR ABSOLUTO TOTAL EN UNA ECUACION
   
|ƒ(Xr) - ƒr(Xr)|  =  |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + |ƒ(X) - ƒr(Xr)|  <=  |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + ƒr(Xr)|


Esta desigualdad afirma que el error total absoluto no es mayor que la suma de los errores absolutos propagados y redondeados
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Complemento Radical

Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica.   Existen dos tipos de complementos para cada sistema de base r:
1.      El complemento radical, y
2.      El complemento radical disminuido
El primero se conoce como el  complemento a r’s y el segundo como el complemento a (r-1)’s.   Cuando el valor de la base se sustituye en el nombre, los dos tipos se conocen como complemento a 2’s y a 1’s para números binarios y a 10’s y a 9’s para números decimales.

COMPLEMENTO RADICAL DISMINUIDO
Dado un número N de base r que tiene n dígito, el complemento a (r-1)’s de N se define (rn - 1) - N
Para números decimales, r =10 y r-1 = 9; de este modo el complemento a 9’s de N es (10n - 1) - N.   Ahora,
            10n        representa un número que consta de un 1 seguido de n ceros.
            10n -1   es un número representado por n nueve.

            Por ejemplo, si n = 4, se tiene        10n = 104 = 10000
10n -1 = 9999

se deduce que el complemento a 9’s de un número decimal se obtiene restando cada dígito a 9.   Encontrar el complemento a 9’s de los siguientes números:

Decimal
    Operación
 CA 9’s
-546700
999999 -546700
453299
-12389
 99999 -12389
  87610
-125
     999 - 125
      874
-450
     999 - 450
      549
-733
     999 - 733
      266
Decimal
Binario
   +5
0 0101
   -5
1 1010
Decimal
Binario
Valor de -5 en Binario
0 0101
   +5
0 0101
Complemento a 1’s
1 1010
   -5
1 1011
Complemento a 2’s
1 1010
          1



1 1011
M =
     72532
99999
Complemento a 10’s de N =
+   96750
03250
Suma =
   1 69282
96749
Acarreo final desechado 105 =
-  1 00000
         1
Respuesta =
      69282
96750

M =
      03250
99999
99999
Complemento a 10’s de N =
+    27468
72532
30718
Suma =
      30718
27467
69281
No hay acarreo final =

        1
        1
Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718)
                  =  - 69282
27468
69282

M =
     1010100
0111100     (CA1’s de N)
Complemento a 10’s de N =
+   0111101
            1
Suma =
  1 0010001
0111101     (CA2’s)
Acarreo final desechado 27=
- 1 0000000

Respuesta =
      0010001



N =
     1000011
0101011     (CA1’s de M)
Complemento a 2’s de M =
+   0101100
            1
Suma =
     1101111
0101100     (CA2’s)
No hay acarreo final =


Respuesta = - (CA 1’s para 1101110)
                  =  - 0010001



En el caso de números binarios, r = 2 y r-1=1, de este modo el complemento a 1’s  de N es (2n -1) - N.   Una vez más
2n        representa por medio de un número binario que consta de un 1 seguido de n        ceros.
2n -1    es un número binario representado por n unos.

Por ejemplo, si n = 4 , se tiene que
                                                           2n        =  (10000)2
                                                           2n -1    =  (1111) 2
Por lo tanto, el complemento a 1’s de un número binario se obtiene restando cada dígito de 1.   Sin embargo, cuando se restan dígitos binarios de 1, se puede tener
1 - 0 = 1  ó  1 - 1 = 0;  lo que hace que el bit cambie de 0 a 1 o bien de 1 a 0.   En consecuencia, el complemento a 1’s de un número binario se forma combinando unos por ceros y ceros por uno.

            El complemento a 1’s de 1011001, es 0100110
            El complemento a 1’s de 0001111, es 1110000

            Si el número es positivo el complemento a 1’s se representa igual, si el número es negativo se toma el número binario positivo y se complementan todos los bit incluyendo el del signo.


            En  el complemento a 2’s, si el número es positivo se representa igual.   Si el número es negativo se suma 1 al complemento a 1’s. para obtener el signo del número negativo.


Sustracción con Complemento

El método directo de sustracción que se enseña en las escuelas primarias aplica el concepto de “Pedir prestado de otra cantidad”.   En método, se pide prestado un 1 de una posición significativa superior cuando el dígito minuendo es menor que el sustraendo.   Este parece ser el método más sencillo cuando las personas realizan la resta con papel y lápiz.    Cuando la resta se efectúa con hardware digital, se observa que este método es menos eficiente que el que se utiliza complementos.           Para realizar la resta de dos números sin signo de n dígitos, M - N. en base r, se puede hacer de la siguiente manera:

1.      Súmese el minuendo M al complemento de r del sustraendo N.   Esto se realiza como M + (rn -N) = M - N + rn

2.      Si M >= N, la suma producirá un acarreo final, rn , que se desecha, lo que queda es el resultado M - N.

3.      Si M < N, la suma no producirá un acarreo y es igual a rn - (N -M) que es el complemento a r’s de (N - M).
Ejemplo 1:     Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 72532 - 3250

M =
     72532
99999
Complemento a 10’s de N =
+   96750
03250
Suma =
   1 69282
96749
Acarreo final desechado 105 =
-  1 00000
         1
Respuesta =
      69282
96750


Ejemplo 2:     Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 3250 - 72532

M =
      03250
99999
99999
Complemento a 10’s de N =
+    27468
72532
30718
Suma =
      30718
27467
69281
No hay acarreo final =

        1
        1
Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718)
                  =  - 69282
27468
69282


Ejemplo 3:     Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la                           resta: M - N, utilizando el complemento a 2’s.
M =
     1010100
0111100     (CA1’s de N)
Complemento a 10’s de N =
+   0111101
            1
Suma =
  1 0010001
0111101     (CA2’s)
Acarreo final desechado 27=
- 1 0000000

Respuesta =
      0010001



Ejemplo 4:     Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la                           resta: N - M, utilizando el complemento a 2’s.
N =
     1000011
0101011     (CA1’s de M)
Complemento a 2’s de M =
+   0101100
            1
Suma =
     1101111
0101100     (CA2’s)
No hay acarreo final =


Respuesta = - (CA 1’s para 1101110)
                  =  - 0010001


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